Proprietatile radicalilor

La fel ca in cazul puterilor, avem cateva proprietati de care sa ne folosim in operatiile cu radicali.

Lucrurile se schimba un pic atunci cand ordinul radicalului este par, vom vedea cum.

Radicalul produsului este egal cu produsul radicalilor

Daca $n$ $n$ este par:

$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ $root(n)(a*b) = root(n)(a)*root(n)(b)$ , pentru $\forall a, b \geq 0$ $AA a, b >=0$

$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{| a |} \cdot \sqrt[n]{| b |}$ $root(n)(a*b) = root(n)(|a|)*root(n)(|b|)$ , daca $a \cdot b \geq 0$ $a*b>=0$

Daca $n$ $n$ este impar, avem mai simplu:

$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ $root(n)(a*b) = root(n)(a)*root(n)(b)$ , pentru $\forall a, b \in ℝ$ $AA a, b in RR$

Asadar, cand avem $n$ $n$ este par trebuie sa avem intodeauna un numar pozitiv sub radical, de aceea cand despartim expresia de sub radical trebuie sa folosim modulul.

Radicalul catului este egal cu catul radicalilor

Daca $n$ $n$ este par:

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ $root(n)(a/b) = root(n)(a)/root(n)(b)$ , pentru $\forall a, b \geq 0$ $AA a, b >=0$ , $b \neq 0$ $b!=0$

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{| a |}}{\sqrt[n]{| b |}}$ $root(n)(a/b) = root(n)(|a|)/root(n)(|b|)$ , daca $a \cdot b \geq 0$ $a*b>=0$ cu $b \neq 0$ $b!=0$

Daca $n$ $n$ este impar avem :

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ $root(n)(a/b) = root(n)(a)/root(n)(b)$ , pentru $\forall a, b \in ℝ$ $AA a, b in RR$ , $b \neq 0$ $b!=0$

Ridicarea la putere a unui radical

${(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$ $(root(n)(a))^m = root(n)(a^m)$

$m \in ℕ^{*}$ $m in NN^**$ , daca $n$ $n$ este par atunci $a \geq 0$ $a >= 0$ si daca este impar $a \in ℝ$ $a in RR$

Cateva exemple:

${(\sqrt[]{2})}^{4} = \sqrt[]{2^{4}} = {(\sqrt[]{2^{2}})}^{2} = 2^{2} = 4$ $(root()(2))^4 = root()(2^4) = (root()(2^2))^2 = 2^2 = 4$
${(\sqrt[3]{- 4})}^{4} = \sqrt[3]{- 4^{4}}$ $(root(3)(-4))^4 = root(3)(-4^4)$
${(\sqrt[]{x + 1})}^{3} = \sqrt[]{{(x + 1)}^{3}}$ $(root()(x+1))^3 = root()((x+1)^3)$

Simplificarea ordinului radicalului

$\sqrt[m \cdot n]{a^{m}} = \sqrt[n]{a}$ $root(m*n)(a^m) = root(n)(a)$

Daca $n$ $n$ este par atunci va trebuie sa avem din start $a > 0$ $a>0$ , dar daca si $n$ $n$ si $m$ $m$ sunt pare, atunci dupa simplificare va trebui sa avem $\sqrt[n]{| a |}$ $root(n)(|a|)$

Exemple:

$\sqrt[3]{5^{6}} = \sqrt[3]{5^{2 \cdot 3}} = 5^{2} = 25$ $root(3)(5^6) = root(3)(5^(2*3)) = 5^2 = 25$
In acest exemplu, am despartit puterea numarului de sub radical in doi factori si apoi am simplificat cu ordinul radicalului.
$\sqrt[8]{2^{6}} = \sqrt[2 \cdot 4]{2^{2 \cdot 3}} = \sqrt[4]{2^{3}}$ $root(8)(2^6) = root(2*4)(2^(2*3)) = root(4)(2^3)$
$\sqrt[12]{{(- 3)}^{10}} = \sqrt[6 \cdot 2]{{(- 3)}^{2 \cdot 5}} = \sqrt[6]{{| - 3 |}^{5}} = \sqrt[6]{3^{5}}$ $root(12)((-3)^10) = root(6*2)((-3)^(2*5)) = root(6)(|-3|^5) = root(6)(3^5)$

Extragerea unui radical din alt radical

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$ $root(n)(root(m)(a)) = root(n*m)(a)$

Exemple:

$\sqrt[]{\sqrt[]{2}} = \sqrt[2 \cdot 2]{2} = \sqrt[4]{2}$ $root()(root()(2)) = root(2*2)(2) = root(4)(2)$
$\sqrt[3]{\sqrt[3]{- 3}} = \sqrt[3 \cdot 3]{- 3} = \sqrt[9]{- 3}$ $root(3)(root(3)(-3)) = root(3*3)(-3) = root(9)(-3)$
$\sqrt[]{\sqrt[]{\sqrt[]{5}}} = \sqrt[]{\sqrt[2 \cdot 2]{5}} = \sqrt[]{\sqrt[4]{5}} = \sqrt[6]{5}$ $root()(root()(root()(5))) = root()(root(2*2)(5)) = root()(root(4)(5)) = root(6)(5)$

Aducerea mai multor radicali la acelasi ordin

In acest caz ne vom folosi de a patra proprietata, in sens invers, pentru a ajunge la acelasi ordin intre cei doi radicali.

Am spus in sens invers, pentru ca nu vom simplifica ordinul radicalului, ci il vom creste pentru a ajunge la cel mai mic multiple comun dintre cei doi radicali.

Aceasta proprietate este folositoare cand avem o operatie cu doi radicali care au ordin diferit. De exemplu:

$\frac{\sqrt[]{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{4} = \frac{\sqrt[2 \cdot 3]{2^{3}} \cdot \sqrt[2 \cdot 3]{3^{2}}}{4} = \frac{\sqrt[6]{8} \cdot \sqrt[6]{9}}{4} = \frac{\sqrt[6]{72}}{4}$ $(root()(2)*root(3)(3))/4 = (root(2*3)(2^3)*root(2*3)(3^2))/4 = (root(6)(8)*root(6)(9))/4 = root(6)(72)/4$

In acest caz cel mai mic multiple comun este $6$ $6$ . Daca ne uitam de la dreapta la stanga seamana cu simplificare ordinului unui radical.