Alte proprietati ale radicalilor

Introducerea unui numar sub radical

$a \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^{n} \cdot b}$ $a*root(n)(b) = root(n)(a^n*b)$

Aici trebuie facuta o observatie in sensul ca daca $n$ $n$ este par, si $a < 0$ $a < 0$ atunci semnul minus va ramane in afara radicalului. De exemplu:

$- 2 \cdot \sqrt[4]{4} = - \sqrt[4]{2^{4} \cdot 4}$ $-2*root(4)(4) = -root(4)(2^4*4)$
Asadar, ridicam numarul la o putere egala cu ordinul radicalului, dar minusul ramane in afara.
$3 \cdot \sqrt[3]{- 5} = \sqrt[3]{3^{3} \cdot (- 5)}$ $3*root(3)(-5) = root(3)(3^3*(-5))$
$\frac{2}{3} \cdot \sqrt[]{5} = \sqrt[]{{(\frac{2}{3})}^{2} \cdot 5} = \sqrt[]{\frac{4}{9} \cdot 5} = \sqrt[]{\frac{20}{9}} = \frac{\sqrt[]{20}}{\sqrt[]{9}} = \frac{\sqrt[]{20}}{3}$ $2/3*root()(5) = root()((2/3)^2*5) = root()(4/9*5) = root()(20/9) = root()(20) / root()(9) = root()(20)/3$

Scoaterea unui numar de sub radical

$\sqrt[n]{a^{n} \cdot b} = a \cdot \sqrt[n]{b}$ $root(n)(a^n*b) = a*root(n)(b)$

Pentru aceasta proprietate se foloseste de fapt prima proprietate despre care am discutat: radicalul produsului este egal cu produsul radicalilor. Pentru ca numarul de sub radical va fi impartit in doua, iar unul din ele va iesi de sub radical.

Exemple:

$\sqrt[]{8} = \sqrt[]{2^{2} \cdot 2} = \sqrt[]{2^{2}} \cdot \sqrt[]{2} = 2 \cdot \sqrt[]{2}$ $root()(8) = root()(2^2*2) = root()(2^2)*root()(2) = 2*root()(2)$
$\sqrt[]{27} = \sqrt[]{3^{2} \cdot 3} = \sqrt[]{3^{2}} \cdot \sqrt[]{3} = 3 \cdot \sqrt[]{3}$ $root()(27) = root()(3^2*3) = root()(3^2)*root()(3) = 3*root()(3)$
$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2} = \sqrt[3]{2^{3}} \cdot \sqrt[3]{2} = 2 \cdot \sqrt[3]{2}$ $root(3)(16) = root(3)(2^3*2) = root(3)(2^3)*root(3)(2) = 2*root(3)(2)$
$\sqrt[3]{- 32} = \sqrt[3]{- 2^{3} \cdot 2^{2}} = \sqrt[3]{- 2^{3}} \cdot \sqrt[3]{2^{2}} = - 2 \cdot \sqrt[3]{4}$ $root(3)(-32) = root(3)(-2^3*2^2) = root(3)(-2^3)*root(3)(2^2) = -2*root(3)(4)$