Tabelul de variatie

Exista o metoda pe care o putem folosi pentru a ne creea o imagine de ansamblu in legatura cu graficul functiei de gradul II.

Putem creea un tabel de variatie care ne va arata cum se schimba functia: cand creste si cand scade. Altfel spus, acesta este o metoda de a vedea monotonia functiei.

Tabelul are doua randuri: pe primul rand vom avea valoarile lui $x$ iar pe al doilea un semn cand aceasta este crescatoare $\nearrow$ si un semn cand este descrescatoare $\searrow$ .

Cand $a > 0$ $a > 0$

Dar coeficientul $a$ $a$ este cel care influenteaza cel mai mult acest lucru. Am vazut ca atunci cand $a > 0$ $a > 0$ graficul este convex (cu ramurile in sus), adica el scade si apoi creste.

Cand $a > 0$ $a>0$ tabelul de variatie va fi:

\begin{array}{lcrcr} x & - \infty & - \frac{b}{2 a} & + \infty \\ f (x) & ↘ & ↘ & ↘ & - \frac{Δ}{4 a} & ↗ & ↗ & ↗ \end{array}

$\begin{array}{l|cr cr} x & -\infty & & & & -\frac{b}{2a} & & & & +\infty\\ \hline f(x) & & \searrow & \searrow & \searrow & -\frac{\Delta}{4a} & \nearrow & \nearrow & \nearrow \end{array}$

Punctul de coordonate $(- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a})$ $(-b/(2a), -Delta/(4a))$ reprezinta varful graficului si de aceea monotonia functiei se schimba acolo.

Cand $a < 0$ $a < 0$

Daca $a < 0$ $a < 0$ atunci tabelul va arata exact invers. Pentru ca functia este concava (cu ramurile in jos), atunci la inceput va fi crescatoare si apoi descrescatoare:

Cand $a < 0$ $a < 0$ tabelul de variatie va fi:

\begin{array}{lcrcr} x & - \infty & - \frac{b}{2 a} & + \infty \\ f (x) & ↗ & ↗ & ↗ & - \frac{Δ}{4 a} & ↘ & ↘ & ↘ \end{array}

$\begin{array}{l|cr cr} x & -\infty & & & & -\frac{b}{2a} & & & & +\infty\\ \hline f(x) & & \nearrow & \nearrow & \nearrow & -\frac{\Delta}{4a} & \searrow & \searrow & \searrow \end{array}$

Asadar ne folosim de varful graficului pentru a afla punctul unde monotonia functiei se schimba si apoi in functie de valoarea lui $a$ $a$ completam unul din cele doua tabele.

Cand a>0a>0a > 0

Cand a<0a<0a < 0

Cand $a > 0$ $a > 0$

Cand $a < 0$ $a < 0$