Semnul functiei de gradul I

De obicei functia de gradul I este definita pe $ℝ$ $RR$ , asta inseamna ca se extinde de la $- \infty$ $-infty$ pana la $+ \infty$ $+infty$ .

Si pentru ca functia se reprezinta printr-o dreapta, si de cele mai multe ori dreapta este oblica, graficul functiei va intersecta axa $O x$ $Ox$ intr-un punct care ne va spune ca jumatate din acel grafic este deasupra axei, iar jumatate sub ea.

Valorile functiei de gradul I

Daca vrem sa stim ce fel de numar ne va returna functia, adica daca este pozitiv sau negativ, in primul rand ne putem uita la monotonia functiei.

Daca $a$ $a$ , coeficientul lui $x$ $x$ , este pozitiv atunci graficul functiei este o dreapta crescatoare, precum acesta:

Si in acest caz, se observa ca pana in punctul cand $x = - 6$ $x = -6$ , functia ne returneaza valori negative (adica $y < 0$ $y < 0$ ). Iar dupa acesta, ea returneaza doar valori pozitive.

In cazul in care $a < 0$ $a < 0$ atunci graficul functiei va fi o dreapta descrescatoare:

Punctul de schimb

In ambele cazuri am vazut ca functia pana intr-un punct va returna valori cu semnul contrar lui $a$ $a$ iar dupa aceasta, cu semnul lui $a$ $a$ .

Acel punct se mai numeste si radacina ecuatiei pentru ca in acel moment $y = 0$ $y = 0$ .

Asadar pentru a afla acel punct trebuie sa avem $f (x) = 0$ $f(x) = 0$ si daca luam forma generala a functiei:

$a \cdot x + b = 0$ $a*x + b = 0$ , ne va rezulta pentru $x$ $x$ valoarea

$x = - \frac{b}{a}$ $x = -b/a$

Asadar, pana in $- \frac{b}{a}$ $-b/a$ functia are semnul contrar lui $a$ $a$ iar dupa, semnul lui $a$ $a$ . Putem vedea aceasta si in urmatorul tabel:

$\begin{array}{l|cr cr} x & -\infty & - \frac{b}{a} & +\infty\\ \hline f(x) & \text{semn contrar lui a} & 0 & \text{semnul lui a} \end{array}$

Cateva exemple

Aflati semnul pentru urmatoarele functii:

$f (x) = 3 x + 2$ $f(x) = 3x + 2$
R: in primul rand trebuie sa calculam punctul unde semnul functiei se schimba, adica atunci cand $f (x) = 0$ $f(x) = 0$

$3 x + 2 = 0$ $3x + 2 = 0$ rezulta ca $x = - \frac{2}{3}$ $x = - 2/3$ , asadar semnul functiei va fi negativ pana in $- \frac{2}{3}$ $-2/3$ si pozitiv dupa acesta, dupa cum urmeaza:

$\begin{array}{l|cr cr} x & -\infty & -\frac{2}{3} & +\infty\\ \hline f(x) & \text{- - - - - } & 0 & \text{+ + + +} \end{array}$
$f (x) = 4 - 5 \cdot x$ $f(x) = 4 - 5*x$
R: vom calcula punctul unde semnul se schimba:

$4 - 5 \cdot x = 0 \Rightarrow - 5 \cdot x = - 4 \Rightarrow x = \frac{4}{5}$ $4 - 5*x = 0 rArr -5*x = -4 rArr x = 4/5$

si vom avea semnul invers lui $a$ $a$ pana in acest punct, dar pentru ca $a = - 5$ $a =-5$ , functia va fi pozitiva pe acest interval si negativa apoi:

$\begin{array}{l|cr cr} x & -\infty & \frac{4}{5} & +\infty\\ \hline f(x) & \text{+ + + +} & 0 & \text{ - - - -} \end{array}$