Rationalizarea numitorilor

Daca intr-un exercitiu ne apare un radical la numitor, pentru a-l face mai simplu de rezolvat ar trebui sa scapam de el.

Acest proces se numeste rationalizarea numitorului, si desi va face ca un alt radical sa apara la numarator, lipsa lui de la numitor va face ca exercitiul sa fie mult mai usor.

De exemplu, daca avem fractia $\frac{1}{\sqrt[]{2}}$ $1/root()(2)$ . Pentru a scapa de acest radical va trebui sa inmultim numitorul si numaratorul cu un numar. Acest numar se numeste conjugatul numitorului.

Pentru a scapa de $\sqrt[]{2}$ $root()(2)$ , vom inmulti tot cu $\sqrt[]{2}$ $root()(2)$ :

$\frac{1}{\sqrt[]{2}} = \frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{2} \cdot \sqrt[]{2}} = \frac{\sqrt[]{2}}{2}$ $1/root()(2) = root()(2)/(root()(2)*root()(2)) = root()(2)/2$

Si astfel rationalizam fractia. Dar putem intalni mai multe cazuri:

Cand la numitor avem un radical simplu

Cum a am avut in exemplul de mai sus, numitorul este doar un radical. In acest caz vom inmulti cu acel radical pana cand scapam de el.

Aici trebuie sa luam in calcul ordinul radicalului. O forma mai generala a ideii ar fi:

$\frac{1}{\sqrt[n]{a}} = \frac{\sqrt[n]{a^{n - k}}}{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{a^{n - k}}} =$ $1/root(n)(a) = root(n)(a^(n-k))/(root(n)(a)*root(n)(a^(n-k))) =$ $\frac{\sqrt[n]{a^{n - k}}}{\sqrt[n]{a^{n}}} =$ $root(n)(a^(n-k))/root(n)(a^n) =$ $\frac{\sqrt[n]{a^{n - k}}}{a}$ $root(n)(a^(n-k))/a$

Ceea ce vrea sa spuna expresia de mai sus este ca trebuie sa gasim un numar cu care sa inmultim numarul de sub radical astfel incat acesta ajunge la o putere egala cu ordinul radicalului.

De exemplu:

$\frac{1}{\sqrt[3]{3}} =$ $1/root(3)(3) =$ $\frac{\sqrt[3]{3^{2}}}{\sqrt[3]{3 \cdot 3^{2}}} =$ $root(3)(3^2)/root(3)(3*3^2) =$ $\frac{\sqrt[3]{3^{2}}}{\sqrt[3]{3^{3}}} =$ $root(3)(3^2)/root(3)(3^3) =$ $\frac{\sqrt[3]{9}}{3}$ $root(3)(9)/3$
In acest caz am avut nevoie de $3^{2}$ $3^2$ pentru a "anula" radicalul de la numitor.
$\frac{2}{\sqrt[5]{9}} = \frac{2}{\sqrt[5]{3^{2}}} =$ $2/root(5)(9) = 2/root(5)(3^2) =$ $\frac{2 \sqrt[5]{3^{3}}}{\sqrt[5]{3^{2}} \cdot \sqrt[5]{3^{3}}} =$ $(2root(5)(3^3))/(root(5)(3^2)*root(5)(3^3)) =$ $\frac{2 \sqrt[5]{3^{3}}}{\sqrt[5]{3^{5}}} =$ $(2root(5)(3^3))/root(5)(3^5) =$ $\frac{2 \sqrt[5]{27}}{3}$ $(2root(5)(27))/3$
In acest exemplu nu aveam de ce sa ridicam $9$ $9$ la puterea $5$ $5$ , am rescris $9$ $9$ in $3^{2}$ $3^2$ .

Acum avem nevoie doar de un $3^{3}$ $3^3$ pentru a ajunge la $3^{5}$ $3^5$ (numar care ne scapa de radicalul la numitor).
$\frac{1}{\sqrt[7]{27}} =$ $1/root(7)(27) =$ $\frac{\sqrt[7]{3^{4}}}{\sqrt[7]{3^{3}} \cdot \sqrt[7]{3^{4}}} =$ $root(7)(3^4)/(root(7)(3^3)*root(7)(3^4)) =$ $\frac{\sqrt[7]{3^{4}}}{3} =$ $root(7)(3^4)/3 =$ $\frac{\sqrt[6]{81}}{3}$ $root(6)(81)/3$
La fel ca in exercitiul precendent, am avut nevoie de un $\sqrt[7]{3^{4}}$ $root(7)(3^4)$ pentru a ajunge la $\sqrt[7]{3^{7}}$ $root(7)(3^7)$ .

Cand la numitor avem o expresie de forma $\sqrt[]{a} \pm \sqrt[]{b}$ $root()(a) +- root()(b)$

$\frac{1}{\sqrt[]{a} + \sqrt[]{b}} =$ $1/(root()(a) + root()(b)) =$ $\frac{\sqrt[]{a} - \sqrt[]{b}}{(\sqrt[]{a} + \sqrt[]{b}) \cdot (\sqrt[]{a} - \sqrt[]{b})} =$ $(root()(a) - root()(b))/((root()(a) + root()(b))*(root()(a) - root()(b))) =$ $\frac{\sqrt[]{a} - \sqrt[]{b}}{\sqrt[]{a^{2}} - \sqrt[]{b^{2}}} =$ $(root()(a) - root()(b))/(root()(a^2) - root()(b^2)) =$ $\frac{\sqrt[]{a} - \sqrt[]{b}}{a - b}$ $(root()(a) - root()(b))/(a-b)$

Cand la numitor avem o expresie de acea forma, pentru a rationaliza numitorul vom amplifica fractia cu conjugata ei.

Daca avem $+$ $+$ in radical inmultim cu expresia ce are $-$ $-$ in interior, si invers. La numitor intodeauna vom aveam minus intre cele doua numere.

$\frac{1}{\sqrt[]{3} + \sqrt[]{2}} =$ $1/(root()(3) + root()(2)) =$ $\frac{\sqrt[]{3} - \sqrt[]{2}}{(\sqrt[]{3} + \sqrt[]{2}) \cdot (\sqrt[]{3} - \sqrt[]{2})} =$ $(root()(3) - root()(2))/((root()(3) + root()(2))*(root()(3) - root()(2))) =$ $\frac{\sqrt[]{3} + \sqrt[]{2}}{3 - 2} =$ $(root()(3) + root()(2))/(3-2) =$ $\sqrt[]{3} + \sqrt[]{2}$ $root()(3) + root()(2)$
La fel ca in definitie, amplificam fractia cu $\sqrt[]{3} - \sqrt[]{2}$ $root()(3) - root()(2)$ .
$\frac{1}{\sqrt[]{5} - \sqrt[]{3}} =$ $1/(root()(5) - root()(3)) =$ $\frac{\sqrt[]{5} + \sqrt[]{3}}{(\sqrt[]{5} - \sqrt[]{3}) \cdot (\sqrt[]{5} + \sqrt[]{3})} =$ $(root()(5) + root()(3))/((root()(5) - root()(3))*(root()(5) + root()(3))) =$ $\frac{\sqrt[]{5} + \sqrt[]{3}}{5 - 3} =$ $(root()(5) + root()(3))/(5-3) =$ $\frac{\sqrt[]{5} + \sqrt[]{3}}{2}$ $(root()(5) + root()(3))/2$
$\frac{2}{2 \sqrt[]{2} - \sqrt[]{3}} = \frac{2 (2 \sqrt[]{2} + \sqrt[]{3})}{(2 \sqrt[]{2} - \sqrt[]{3}) \cdot (2 \sqrt[]{2} + \sqrt[]{3})} =$ $2/(2root()(2) - root()(3)) = (2(2root()(2) + root()(3)))/((2root()(2) - root()(3))*(2root()(2) + root()(3))) =$
$\frac{4 \sqrt[]{2} + 2 \sqrt[]{3}}{2^{2} \cdot 2 - 3} = \frac{4 \sqrt[]{2} + 2 \sqrt[]{3}}{8 - 3} = \frac{4 \sqrt[]{2} + 2 \sqrt[]{3}}{5}$ $(4root()(2) + 2root()(3))/(2^2*2 - 3) = (4root()(2) + 2root()(3))/(8-3) = (4root()(2) + 2root()(3))/5$

Nu trebuie sa uitam ca atunci cand rationalizam o fractie de genul acesta, fiecare membru al expresiei $\sqrt[]{a} \pm \sqrt[]{b}$ $root()(a) +- root()(b)$ este ridicat la patrat. De aceea avem $2^{2}$ $2^2$ .

Cand la numitor avem o expresie de forma $\sqrt[]{a} \pm \sqrt[]{b} \pm \sqrt[]{c}$ $root()(a) +- root()(b) +- root()(c)$

In acest caz se aplica tehnica de mai devreme dar de doua ori. Un exemplu ar fi:

$\frac{1}{\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3} + \sqrt[]{6}} =$ $1/(root()(2) + root()(3) + root()(6)) =$ $\frac{(\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}) - \sqrt[]{6}}{[(\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}) + \sqrt[]{6}] [(\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}) - \sqrt[]{6}]} =$ $((root()(2) + root()(3)) - root()(6))/([(root()(2) + root()(3)) + root()(6)][(root()(2) + root()(3)) - root()(6)]) =$
$\frac{\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3} - \sqrt[]{6}}{{(\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3})}^{2} - {\sqrt[]{6}}^{2}} =$ $(root()(2) + root()(3) - root()(6))/((root()(2) + root()(3))^2 - root()(6)^2) =$ $\frac{\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3} - \sqrt[]{6}}{5 + 2 \sqrt[]{6} - 6} =$ $(root()(2) + root()(3) - root()(6))/(5 + 2root()(6) - 6) =$ $\frac{\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3} - \sqrt[]{6}}{2 \sqrt[]{6} - 1}$ $(root()(2) + root()(3) - root()(6))/(2root()(6) - 1)$

Iar acum vom aplica din nou aceasta metoda:

$\frac{(\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3} - \sqrt[]{6}) \cdot (2 \sqrt[]{6} + 1)}{(2 \sqrt[]{6} - 1) \cdot (2 \sqrt[]{6} + 1)} =$ $((root()(2) + root()(3) - root()(6))*(2root()(6) + 1))/((2root()(6) - 1)*(2root()(6) + 1)) =$ $\frac{(\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3} - \sqrt[]{6}) \cdot (2 \sqrt[]{6} + 1)}{2^{2} \cdot 6 - 1^{2}} =$ $((root()(2) + root()(3) - root()(6))*(2root()(6) + 1))/(2^2*6 - 1^2) =$

$\frac{(\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3} - \sqrt[]{6}) \cdot (2 \sqrt[]{6} + 1)}{23}$ $((root()(2) + root()(3) - root()(6))*(2root()(6) + 1))/23$

Cand la numitor avem un radical simplu

Cand la numitor avem o expresie de forma a√±b√a±broot()(a) +- root()(b)

Cand la numitor avem o expresie de forma a√±b√±c√a±b±croot()(a) +- root()(b) +- root()(c)

Cand la numitor avem o expresie de forma $\sqrt[]{a} \pm \sqrt[]{b}$ $root()(a) +- root()(b)$

Cand la numitor avem o expresie de forma $\sqrt[]{a} \pm \sqrt[]{b} \pm \sqrt[]{c}$ $root()(a) +- root()(b) +- root()(c)$