Daca intr-un exercitiu ne apare un radical la numitor, pentru a-l face mai simplu de rezolvat ar trebui sa scapam de el.

Acest proces se numeste rationalizarea numitorului, si desi va face ca un alt radical sa apara la numarator, lipsa lui de la numitor va face ca exercitiul sa fie mult mai usor.

De exemplu, daca avem fractia 12. Pentru a scapa de acest radical va trebui sa inmultim numitorul si numaratorul cu un numar. Acest numar se numeste conjugatul numitorului.

Pentru a scapa de 2, vom inmulti tot cu 2:

12=222=22

Si astfel rationalizam fractia. Dar putem intalni mai multe cazuri:

Cand la numitor avem un radical simplu

Cum a am avut in exemplul de mai sus, numitorul este doar un radical. In acest caz vom inmulti cu acel radical pana cand scapam de el.

Aici trebuie sa luam in calcul ordinul radicalului. O forma mai generala a ideii ar fi:

1an=an-knanan-kn=an-knann=an-kna

Ceea ce vrea sa spuna expresia de mai sus este ca trebuie sa gasim un numar cu care sa inmultim numarul de sub radical astfel incat acesta ajunge la o putere egala cu ordinul radicalului.

De exemplu:

  1. 133=3233323=323333=933

    In acest caz am avut nevoie de 32 pentru a "anula" radicalul de la numitor.

  2. 295=2325=2335325335=2335355=22753

    In acest exemplu nu aveam de ce sa ridicam 9 la puterea 5, am rescris 9 in 32.

    Acum avem nevoie doar de un 33 pentru a ajunge la 35 (numar care ne scapa de radicalul la numitor).

  3. 1277=347337347=3473=8163

    La fel ca in exercitiul precendent, am avut nevoie de un 347 pentru a ajunge la 377.

Cand la numitor avem o expresie de forma a±b

1a+b=a-b(a+b)(a-b)= a-ba2-b2=a-ba-b

Cand la numitor avem o expresie de acea forma, pentru a rationaliza numitorul vom amplifica fractia cu conjugata ei.

Daca avem + in radical inmultim cu expresia ce are - in interior, si invers. La numitor intodeauna vom aveam minus intre cele doua numere.

  1. 13+2=3-2(3+2)(3-2)= 3+23-2=3+2

    La fel ca in definitie, amplificam fractia cu 3-2.

  2. 15-3=5+3(5-3)(5+3)= 5+35-3=5+32
  3. 222-3=2(22+3)(22-3)(22+3)=

    42+23222-3=42+238-3=42+235

    Nu trebuie sa uitam ca atunci cand rationalizam o fractie de genul acesta, fiecare membru al expresiei a±b este ridicat la patrat. De aceea avem 22.

Cand la numitor avem o expresie de forma a±b±c

In acest caz se aplica tehnica de mai devreme dar de doua ori. Un exemplu ar fi:

  1. 12+3+6=(2+3)-6[(2+3)+6][(2+3)-6]=

    2+3-6(2+3)2-62=2+3-65+26-6=2+3-626-1

    Iar acum vom aplica din nou aceasta metoda:

    (2+3-6)(26+1)(26-1)(26+1)=(2+3-6)(26+1)226-12=

    (2+3-6)(26+1)23