Puteri cu exponent rational

Am vorbit pana acum de puteri cu exponenti intregi si naturali si am putea sa ne intrebam ce facem cu numitorul cand avem o fractie la exponent?

Adica atunci cand avem $a^{\frac{3}{4}}$ $a^(3/4)$ .

Am putea spune ca este egal cu $a^{3 \cdot \frac{1}{4}}$ $a^(3*1/4)$ adica ${(a^{3})}^{\frac{1}{4}}$ $(a^3)^(1/4)$

O definitie ar fi

Daca luam un numar real $a \in ℝ, a > 0$ $a in RR, a>0$ si o putere scrisa sub forma $\frac{m}{n}$ $m/n$ cu

$m \in ℤ, n \in ℕ, n \geq 2$ $m in ZZ, n in NN, n>=2$ , spunem ca puterea lui $a$ $a$ este egala cu:

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ $a^(m/n) = rootn(a^m)$

Daca $m = 1, n \geq 2$ $m=1, n>=2$ atunci $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ $a^(1/n) = root(n)(a)$ .

Asa ca ideea principala este ca atunci cand avem un numar intreg drept putere $a^{\frac{1}{4}}$ $a^(1/4)$ , totul se scrie drept un radical: $a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a^{1}}$ $a^(1/4) = root(4)(a^1)$ .

Numaratorul se va transforma in puterea lui $a$ $a$ , iar numitorul in ordinul radicalului.

Proprietati

Sa spunem ca luam 2 numere mai mari ca 0 $a, b > 0$ $a, b > 0$ , cu doua puteri rationale $m, n \in ℚ$ $m,n in QQ$ , atunci am avea proprietatile:

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ $a^m * a^n = a^(m+n)$
$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ $a^m/a^n = a^(m-n)$
${(a \cdot b)}^{m} = a^{m} \cdot b^{m}$ $(a*b)^m = a^m * b^m$
${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}$ $(a/b)^m = a^m/b^m$
${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$ $(a^m)^n = a^(m*n)$

Vedem ca se pastreaza aceleasi proprietati ca atunci cand puterea era un numar natural.

Exemple

Cateva exemple de cum putem rescrie numerele sub forma de puteri cu exponent rational.

$\sqrt[]{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ $root()3 = 3^(1/2)$
Asa ca de fiecare data cand scriem un radical, de fapt scriem un numar la o putere intreaga. Daca $2$ $2$ este ordinul radicalului, acesta nu se mai trece pentru ca se subintelege.
$3^{\frac{4}{1}} = 3^{4}$ $3^(4/1) = 3^4$
Daca numitorul este $1$ $1$ atunci nu avem nevoie de un radical, pentru ca puterea este un numar natural. Numitorul puterii trebuie sa fie $\geq 2$ $>=2$
$3^{\frac{4}{7}} = \sqrt[7]{3^{4}}$ $3^(4/7) = root(7)(3^4)$
$2^{\frac{- 3}{5}} = \sqrt[5]{2^{- 3}} = \sqrt[5]{\frac{1}{2^{3}}}$ $2^((-3)/5) = root(5)(2^(-3)) = root(5)(1/(2^3))$
Putem avea si un numar negativ la numarator iar efectul este cel pe care l-am discutat in lectia trecuta: $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ $a^(-n) = 1/(a^n)$

O definitie ar fi

amn=am−−−√namn=amna^(m/n) = rootn(a^m)

Proprietati

Exemple

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ $a^(m/n) = rootn(a^m)$