Suma termenilor intr-o progresie geometrica

Pentru a calcula suma primilor $n$ $n$ termeni dintr-o progresie geometrica $b_{n}$ $b_n$ , putem folosi formula:

$S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$ $S_n = b_1*(q^n-1)/(q-1)$

Conditia ca aceasta formula sa poata fi folosita este ca $q \neq 1$ $q != 1$ . Daca avem $q = 1$ $q = 1$ atunci formula devine $S_{n} = q \cdot b_{1}$ $S_n = q*b_1$ . Dar in acelasi timp progresia va avea acelasi termen peste tot, pentru ca vom inmulti mereu cu $1$ $1$ .

Exercitii

Cateva exercitii cu suma primilor $n$ $n$ termeni:

Avem progresia $b_{n}$ $b_n$ cu $b_{1} = 3$ $b_1 = 3$ si ratia $q = \frac{1}{3}$ $q = 1/3$ . Sa se calculeze suma primilor 4 termeni.

Pentru a afla suma vom folosi formula de mai sus:

$S_{4} = 3 \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$ $S_4 = 3*((1/3)^4 -1)/(1/3 - 1)$ $= 3 \cdot \frac{\frac{1}{81} - \frac{81}{81}}{\frac{1}{3} - \frac{3}{3}}$ $= 3*(1/81 - 81/81)/(1/3 - 3/3)$ $= 3 \cdot \frac{- \frac{80}{81}}{- \frac{2}{3}}$ $= 3*(-80/81)/(-2/3)$ $= 3 \cdot \frac{80}{81} \cdot \frac{3}{2}$ $= 3*80/81*3/2$ $= \frac{40}{9}$ $= 40/9$
Daca stim ratia $q = 2$ $q = 2$ si termenul $b_{5} = \frac{8}{3}$ $b_5 = 8/3$ , sa se calculeze suma primilor 5 termeni.

Pentru formula stim ca avem nevoie de $b_{1}$ $b_1$ si pentru a-l afla ne vom folosi de formula termenului general pentru $b_{5}$ $b_5$ .

$b_{5} = b_{1} \cdot q^{4} \Rightarrow b_{1} \cdot 2^{4} = \frac{8}{3} \Rightarrow b_{1} = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{6}$ $b_5 = b_1*q^4 => b_1*2^4 = 8/3 => b_1 = 8/3*1/16 = 1/6$

Acum ca stim cine este $b_{1}$ $b_1$ putem aplica formula:

$S_{5} = \frac{1}{6} \cdot \frac{2^{4} - 1}{2 - 1} =$ $S_5 = 1/6*(2^4-1)/(2-1) =$ $\frac{1}{6} \cdot \frac{16 - 1}{1} =$ $1/6*(16-1)/1 =$ $\frac{15}{6} =$ $15/6 =$ $\frac{5}{2}$ $5/2$