Suma primilor n termeni dintr-o progresie aritmetica

Pentru a afla suma primilor $n$ $n$ termeni dintr-o progresie aritmetica putem folosi formula:

$S_{n} = n \cdot \frac{a_{1} + a_{n}}{2}$ $S_n = n*(a_1+a_n)/2$

Asadar avem $n$ $n$ numarul de termeni in suma, inmultit cu media aritmetica dintre primul si ultimul termen din suma.

Si folosind formula termenului general $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r$ $a_n = a_1 + (n-1)*r$ putem inlocui $a_{n}$ $a_n$ in aceasta formula si va rezulta:

$S_{n} = n \cdot \frac{2 \cdot a_{1} + (n - 1) \cdot r}{2}$ $S_n = n*(2*a_1+(n-1)*r)/2$

Aceasta formula depinde doar de primul termen si de ratie, ceea ce e posibil sa stim deja despre o progresie, si de aceea o face mai usor de folosit.

Exercitii

Avem progresia aritmetica ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ $(a_n)_(n>=1)$ cu $a_{1} = 2$ $a_1 = 2$ si $r = - 3$ $r = -3$ . Vedem ca $r < 0$ $r < 0$ ceea ce inseamna ca progresia este descrescatoare.

Sa spunem ca vrem sa aflam $a_{12}$ $a_12$ .

Folosind formula de mai sus cu datele pe care le avem rezulta:

$S_{12} = 12 \cdot \frac{2 \cdot 2 + (12 - 1) \cdot (- 3)}{2}$ $S_12 = 12*(2*2 + (12-1)*(-3))/2$

$S_{12} = 6 \cdot (4 - 33) = 6 \cdot (- 29) = - 174$ $S_12 = 6*(4 - 33) = 6*(-29) = -174$
Daca avem progresia $b_{n}$ $b_n$ cu $b_{1} = - 1$ $b_1 = -1$ si $r = 4$ $r=4$ sa se calculeze suma de la $b_{5}$ $b_5$ pana la $b_{12}$ $b_12$ .

In acest exercitiu trebuie sa calculam suma pentru doar cativa termeni si avem doua optiuni de a o afla:

Ne putem imagina o noua progresie $c_{n}$ $c_n$ cu $c_{1} = b_{5}$ $c_1 = b_5$ , ratia aceeasi si sa aplicam formula de mai sus.

Sau, alta metoda ar fi sa calculam $S_{12}$ $S_12$ (suma de la $b_{1}$ $b_1$ pana la $b_{12}$ $b_12$ ) din care sa scadem apoi $S_{5}$ $S_5$ .

A doua metoda implica mai multe calcule asa ca o vom folosi pe prima. Dar inainte trebuie sa aflam $c_{1}$ $c_1$ , adica $b_{5}$ $b_5$ :

$c_{1} = b_{5} = b_{1} + (n - 1) \cdot r =$ $c_1 = b_5 = b_1 + (n-1)*r =$ $- 1 + (5 - 1) \cdot 4 =$ $-1 + (5-1)*4 =$ $- 1 + 16 = 15$ $-1 + 16 = 15$

Formula pentru a afla suma primilor $7$ $7$ termeni ( $12 - 5$ $12-5$ ) ai progresiei $c_{n}$ $c_n$ este:

$S_{7} = 7 \cdot \frac{2 \cdot c_{1} + (7 - 1) \cdot r}{2} =$ $S_7 = 7*(2*c_1 + (7-1)*r)/2 =$ $7 \cdot \frac{2 \cdot 15 + (7 - 1) \cdot 4}{2} =$ $7*(2*15 + (7-1)*4)/2 =$

$S_{7} = 7 \cdot \frac{54}{2} = 7 \cdot 27 = 189$ $S_7 = 7*54/2 = 7*27 = 189$