Diferite operatii cu multimi

In aceasta lectie vom lua cateva exemple cu operatii cu multimi si in acelasi timp vom vorbi si despre proprietatile lor, precum ordinea in care se efectueaza..

Ordinea operatiilor

In general ordinea operatiilor cu multimi nu conteaza, dar sunt si cazuri unde este foarte importanta.

De exemplu, in cazul intersectiei sau reuniunii, ordinea multimilor nu conteaza.

$A \cap B$ $A nn B$ este acelasi lucru cu $B \cap A$ $B nn A$ .

Sau $A \cup B$ $A uu B$ este la fel cu $B \cup A$ $B uu A$ .

Ordinea conteaza cand vorbim de diferenta dintre doua multimi:

$A \ B \neq B \ A$ $A \\ B != B \\ A$

Multimea ce rezulta din $A \ B$ $A \\ B$ este alta fata de multimea $B \ A$ $B \\ A$ .

Desfacerea parantezelor

Sa spunem de exemplu ca trebuie sa calculam: $A \cap (B \cup C)$ $A nn (B uu C)$

Putem rezolva aceasta ecuatie in doua moduri: 1. intai calculam $B \cup C$ $B uu C$ si apoi intersectia cu $A$ $A$ sau 2. desfacem parantezele.

Daca vrem sa desfacem parantezele atunci $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cup C)$ $A nn (B uu C) = (A nn B)uu(A uu C)$

Asadar intersectia cu $A$ $A$ se distribuie fiecarui element din paranteza si apoi avem reuniunea (operatia din paranteza) intre multimile ce rezulta.

Daca la fel am avea $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ $A uu (B nn C) = (A uu B)nn(A uu C)$

Complementul unei multimi

Daca avem multimea $A$ $A$ atunci complementul ei reprezinta toate elementele care nu sunt in $A$ $A$ . Aceasta se noteaza cu $A'$ $A'$ .

Cand spunem toate elementele, ne referim la toate elementele. In matematica exista multimea $U$ $sf U$ care cuprinde toate lucrurile din univers.

Asa ca daca avem $A = {2, 4}$ $A = {2, 4}$ atunci $A'$ $A'$ reprezinta multimea tuturor lucrurilor din univers care nu sunt $2$ $2$ si $4$ $4$ . Aceasta multime se numeste complementul absolut.

Dar exista si conceptul de complement relativ. Atunci cand vrem sa aflam toate elementele care nu se afla in $A$ $A$ dar se afla in alta multime, precum $B$ $B$ .

Noi am vorbit despre aceasta multime pentru ca este cea ce rezulta din operatia $B \ A$ $B \\ A$ .

De exemplu, daca $B = {1, 2, 3, 4, 5}$ $B = {1, 2, 3, 4, 5}$ atunci complementul lui $A$ $A$ relativ la $B$ $B$ sunt toate elementele din $B$ $B$ care nu sunt in $A$ $A$ , adica $B \ A$ $B \\ A$ .

Care in acest caz inseamna ${1, 3, 5}$ ${1, 3, 5}$ .