Exercitii cu logaritmi

Cele mai des intalnite exercitii de inceput cu logaritmi, sunt cele in care se vor cere sa se calculeze un logaritm, de exemplu cu cat este egal $\log_{3} 27$ $log_3 27$ , sau in care un membru al egalitatii lipseste si va trebui sa se afle $x$ $x$ .

Exercitii de calcul

Cu cat sunt egali urmatorii logaritmi:

$\log_{7} 49$ $log_7 49$
Acesta este simplu, trebuie sa gasim la ce putere sa ridicam $7$ $7$ pentru a ne dat $49$ $49$ .

Si raspunsul este $2$ $2$ .
$\log_{3} (\frac{1}{9})$ $log_3 (1/9)$
Asadar care este puterea la care trebuie ridicat $3$ $3$ pentru a ajunge la $\frac{1}{9}$ $1/9$ .

Stim ca trebuie sa fie o putere negativa pentru ca rezulta o fractie, iar $3^{2} = 9$ $3^2 = 9$ .

Asa ca raspunsul este: $- 2$ $-2$

$\log_{3} (\frac{1}{9}) = - 2$ $log_3 (1/9) = -2$
$\log_{2} \sqrt[]{8}$ $log_2 root()(8)$
O metoda de a rezolva astfel de exercitii, este sa scriem ecuatia drept o putere, si anume $2^{x} = \sqrt[]{8}$ $2^x = root()(8)$ .

Si daca nu ne ne dam seama de $x$ $x$ , putem incerca sa rescriem partea din dreapta. Pai $\sqrt[]{8}$ $root()(8)$ mai poate fi scris drept $8^{\frac{1}{2}}$ $8^(1/2)$ , iar $8$ $8$ este de fapt, $2^{3}$ $2^3$ , asa ca $\sqrt[]{8} = {(2^{3})}^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$ $root()(8) = (2^3)^(1/2) = 2^(3/2)$ .

Iar acum e simplu sa ne dam seama: $2^{x} = 2^{\frac{3}{2}}$ $2^x = 2^(3/2)$ , rezulta ca $x = \frac{2}{3}$ $x = 2/3$

$\log_{2} \sqrt[]{8} = \frac{2}{3}$ $log_2 root()(8) = 2/3$
$\log_{2} \sqrt[]{\frac{1}{4}}$ $log_2 root()(1/4)$
Acest pare similar cu cel precedent, dar de fapt $\sqrt[]{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ $root()(1/4) = 1/2$ , asa ca exercitiul se transforma in:

$\log_{2} (\frac{1}{2}) = - 1$ $log_2(1/2) = -1$
$\log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{16}$ $log_(1/2) root(3)(16)$
Pentru acest exercitiu putem metoda de la exercitiul 3. Vom rescrie drept o putere:

${(\frac{1}{2})}^{x} = \sqrt[3]{16}$ $(1/2)^x = root(3)(16)$

$\frac{1}{2}$ $1/2$ se mai poate scrie drept $2^{- 1}$ $2^-1$ , iar $\sqrt[3]{16} = 2^{\frac{4}{3}}$ $root(3)(16) = 2^(4/3)$ asa ca mai putem scrie drept:

$2^{- x} = 2^{\frac{4}{3}}$ $2^-x = 2^(4/3)$ de unde rezulta ca $- x = \frac{4}{3}$ $-x = 4/3$ si ca $x = - \frac{4}{3}$ $x = -4/3$ . Asa ca avem:

$\log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{16} = - \frac{4}{3}$ $log_(1/2) root(3)(16) = -4/3$
$\log_{3} \log_{2} \log_{4} 16$ $log_3 log_2 log_4 16$
Initial acest gen de exercitiu poate parea greu, dar se rezolva destul de simplu de la dreapta la stanga.

$\log_{4} 16 = 2$ $log_4 16 = 2$ , si acum $2$ $2$ va trece in urmatorul logaritm:

$\log_{2} 2 = 1$ $log_2 2 = 1$ si ce a rezultat il trimitem catre primul logaritm:

$\log_{3} 1$ $log_3 1$ care va fi egal cu $0$ $0$ . Asa ca rezultatul final este:

$\log_{3} \log_{2} \log_{4} 16 = 0$ $log_3 log_2 log_4 16 = 0$

Aflarea lui $x$ $x$

Un alt tip de exercitiu este acela cand nu se stie o parte din ecuatia logaritmului.

$\log_{x} 8 = 3$ $log_x 8 = 3$
In acest exemplu, ne lipseste baza. Deci trebuie sa cautam un numar care ridicat la $3$ $3$ sa ne dea $8$ $8$ .

$x^{3} = 8$ $x^3 = 8$

In acest caz, raspunsul e evident $x = 2$ $x = 2$
$\log_{x} 2 = 3$ $log_x 2 = 3$
Acest exemplu nu este atat de evident. Nu stim un numar natural care ridicat la puterea $3$ $3$ sa ne dea $2$ $2$ .

Asa ca sigur trebuie sa fie un radical implicat.

$x^{3} = 2$ $x^3 = 2$

Cel mai sigur este un radical de ordin $3$ $3$ :

${(\sqrt[3]{2})}^{3} = 2$ $(root(3)(2))^3 = 2$ ceea ce rezulta ca $x = \sqrt[3]{2}$ $x = root(3)(2)$
$\log_{3} x = \frac{1}{2}$ $log_3 x = 1/2$
In acest caz nu trebuie decat sa calculam $3^{\frac{1}{2}}$ $3^(1/2)$ . Deci $x = \sqrt[]{3}$ $x = root()(3)$
$\log_{2} 32 = x$ $log_2 32 = x$
Si acest gen de exercitiu este similar cu ce am facut in exercitiile de mai sus, de la Exercitii de calcul.

Trebuie sa aflam puterea:

$2^{x} = 32 \Rightarrow x = 5$ $2^x = 32 => x = 5$

Exercitii de calcul

Aflarea lui xxx

Aflarea lui $x$ $x$