Operatii cu puteri

Proprietati ale puterilor cu exponent natural

Inmultirea cu puterile care au aceeasi baza:

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ $a^m * a^n = a^(m+n)$ , $a \in ℝ$ $a in RR$ si $m, n \in ℕ$ $m,n in NN$

Inmultirea a doua puteri cu aceeasi baza se face prin adunarea puterilor.

Exemplu:

$4^{3} \cdot 4^{6} = 4^{3 + 6} = 4^{9}$ $4^3*4^6 = 4^(3+6) = 4^9$
Impartirea puterilor care au aceeasi baza:

$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ $a^m/a^n = a^(m-n)$ , unde trebuie sa avem $a \neq 0$ $a!=0$ si $m, n \in ℕ$ $m, n in NN$ cu $m > n$ $m>n$

Pentru a impartii doua puteri care au aceeasi baza, se scrie baza si se scad exponentii.

Exemplu:

$\frac{7^{7}}{7^{3}} = 7^{7 - 3} = 7^{4}$ $7^7/7^3 = 7^(7-3) = 7^4$
Ridicarea unei puteri la alta putere:

${(a^{n})}^{m} = a^{m \cdot n}$ $(a^n)^m = a^(m*n)$ , $a \in ℝ$ $a in RR$ , $m, n \in ℕ$ $m, n in NN$

Cand vrem sa ridicam o putere la alta putere, copiem baza si inmultim exponentii.

Exemplu:

${(4^{2})}^{3} = 4^{2 \cdot 3} = 4^{6}$ $(4^2)^3 = 4^(2*3) = 4^6$
Puterea produsului:

${(a \cdot b)}^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$ $(a*b)^n = a^n*b^n$ , $a, b \in ℝ, n \in ℕ$ $a,b in RR, n in NN$

Pentru a ridica un produs la o putere, se ridica fiecare factor la acea putere.

Exemplu:

${(2 \cdot 3)}^{5} = 2^{5} \cdot 3^{5}$ $(2*3)^5 = 2^5*3^5$
Puterea catului:

${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$ $(a/b)^n = a^n/b^n$ , $a, b \in ℝ$ $a,b in RR$ , $b \neq 0$ $b!=0$ , $n \in ℕ$ $n in NN$

Un cat ridicat la o putere este egal cu numaratorul si numitorul ridicat la acea putere

Exemplu:

${(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{3^{2}}{2^{2}} = \frac{9}{4}$ $(3/2)^2 = 3^2/2^2 = 9/4$

Exemple

Cateva exercitii cu proprietatile puterilor:

${(\frac{3^{6}}{2})}^{3} = \frac{3^{6 \cdot 3}}{2^{3}} = \frac{3^{18}}{2^{3}}$ $(3^6/2)^3 = 3^(6*3)/2^3 = 3^18/2^3$
$2^{4} \cdot {(\frac{5^{2}}{2^{6}})}^{2} = 2^{4} \cdot \frac{5^{2 \cdot 2}}{2^{6 \cdot 2}} = 2^{4} \cdot \frac{5^{4}}{2^{12}} = \frac{5^{4}}{2^{8}}$ $2^4 * (5^2/2^6)^2 = 2^4 * 5^(2*2)/2^(6*2) = 2^4 * 5^4/2^12 = 5^4/2^8$
$\frac{2 x^{3}}{5 x^{2}} = \frac{2}{5} \cdot x^{3 - 2} = \frac{2}{5} \cdot x$ $(2x^3)/(5x^2) = 2/5*x^(3-2) = 2/5*x$
$\frac{12 \cdot y^{3} + 8 \cdot x^{2}}{4 \cdot y^{3} \cdot x^{2}} = \frac{12 \cdot y^{3}}{4 \cdot y^{3} \cdot x^{2}} + \frac{8 \cdot x^{2}}{4 \cdot y^{3} \cdot x^{2}} = \frac{3}{x^{2}} + \frac{2}{y^{3}}$ $(12*y^3 + 8*x^2)/(4*y^3*x^2) = (12*y^3)/(4*y^3*x^2) + (8*x^2)/(4*y^3*x^2) = 3/x^2 + 2/y^3$

Proprietati ale puterilor cu exponent natural

Inmultirea cu puterile care au aceeasi baza:

Impartirea puterilor care au aceeasi baza:

Ridicarea unei puteri la alta putere:

Puterea produsului:

Puterea catului:

Exemple