f(x) = \dfrac{ x + A }{ ( x + A )( x - B ) }
Care este domeniul funcției f(x)?
CHOICES["two-denom-simplify"]
cf(x) nu este definită atunci când numitorul fracției este 0.
Numitorul este 0 atunci când x=(-1*A) sau x=B.
Deci știm că x \neq -1*A și x \neq B.
Scriind aceasta matematic, domeniul funcției este CHOICES["two-denom-simplify"].
f(x)= \begin{cases} \dfrac{ x + A }{ ( x + A )( x - B ) } & \text{IF } x \neq B \\ C & \text{IF } x = B \end{cases}
CHOICES["two-denom-cond"]
cf(x) este o funcție definită pe intervale, de aceea este nevoie să aflăm pe fiecare porțiune unde funcția nu este definită.
Prima parte a funcției f(x), \frac{ x + A }{ ( x + A )( x - B ) }, nu este definită atunci când numitorul este 0.
Numitorul este 0 când x=-1*A sau x=B.
Deci pentru primul interval, avem x \neq -1*A and x \neq B.
Al doilea interval este definit doar într-un punct, când x = B, iar valoarea funcției C, nu are nici un punct sau interval în care să nu fie definită, deci f(x) este definită ca x = B.
Rezultă că singura restricție a domeniului este x \neq -1*A.
Astfel putem scrie că domeniul funcției este CHOICES["two-denom-cond"].
f(x) = \sqrt{ x - A }
CHOICES.sqrt
cf(x) este nedefinită atunci când expresia de sub radical este mai mică decât 0.
Rezultă că x - A, trebuie să fie mai mare sau egală cu 0.
Pentru ca x - A \geq 0; avem x \geq A.
Înseamnă că domeniul funcției este CHOICES.sqrt.
f(x) = \dfrac{ 1 }{ \sqrt{ x - A } }
CHOICES["inverse-sqrt"]
cf(x) este nedefinită atunci când expresia de sub radical este mai mică decât 0.
Rezultă că x - A, trebuie să fie mai mare sau egală cu 0.
Pentru ca x - A \geq 0, avem x \geq A.
În plus, trebuie să ne gândim ca funcția f(x) este nedefinită atunci când numitorul \sqrt{ x - A }, este zero.
Deci ar trebui ca \sqrt{ x - A } \neq 0.
\sqrt{ z } = 0 numai când z = 0, înseamnă că \sqrt{ x - A } \neq 0 dacă x - A \neq 0.
Avem x \neq A.
În total avem două restricții: x \geq A și x \neq A.
Dar combinându-le, nu ne rămâne decât x > A.
În final putems scrie că domeniul funcției este CHOICES["inverse-sqrt"].
f(x) = \begin{cases} \dfrac{ 1 }{ \sqrt{ x - A } } & \text{IF } x \geq A \\ \dfrac{ 1 }{ \sqrt{ A - x } } & \text{IF } x < A \end{cases}
CHOICES["inverse-sqrt-cond"]
cf(x) este o funcție definită pe intervale, de aceea trebuie să gasim punctele sau intervalele unde ea este nedefinită.
Pentru primul interval, f(x) are expresia \frac{ 1 }{ \sqrt{ x - A } } și este nedefinită atunci când numitorul este zero sau când expresia de sub radical este mai mică decât zero.
Numitorul \sqrt{ x - A }, este zero când x - A = 0, deci avem x \neq A.
Expresia x - A, este mai mică decât zero când x < A, rezultă că x \geq A.
Până acum avem pentru primul interval că f(x) este definită când x \neq A și x \geq A.
Combinând aceste restricții, rezultă că pentru primul domneiul, funcția este definită când x > A. Primul nostru interval este x \geq A, deci această restricție este importantă.
Al doilea interval al funcției f(x), \frac{ 1 }{ \sqrt{ A - x } }, se aplică atunci când x < A și este nedefinit când numitorul este zero sau expresia de sub radical este mai mică decât zero.
Numitorul \sqrt{ A - x }, este zero când A - x = 0, deci știm că x \neq A.
Expresia A - x, este mai mică decât zero când x > A, rezultă că x \leq A.
Pe acest interval, funcția f(x) este definită când x \neq A și x \leq A.
Aceste doua restricții împreună ne dau că funcția este definită când x < A.
În cazul nostru, a doua ramură a funcției se aplică doar când x < A, deci această restricție nu este tocmai relevantă pentru domeniul funcției f(x).
Primul interval este definit când x > A și se aplică în cazul în care x \geq A;
al doilea interval este definit când x < A și se aplicâ dacă x < A.
Împreună, aceste restricții ne dau că singurul loc în care funcția nu este definită, avem x = A.
Rezultă că singura restricție a domeniului funcției f(x) este x \neq A.
În final putem scrie că domeniul funcției este CHOICES["inverse-sqrt-cond"].
f(x) = \dfrac{ \sqrt{ A+B - x } }{ \sqrt{ x - A } }
CHOICES["sqrt-frac"]
c
În primul rând observăm că f(x) este nedefinită atunci când oricare dintre radicali este nedefinit. Aceasta se întâmplă când expresia de sub radical este mai mică decât zero.
Radicalul de sus este nedefinit atunci când A+B - x < 0.
Sau scris altfel x > A+B. Rezultă că x \leq A+B.
Radicalul de jos este nedefinit atunci când x - A < 0.
Sau putem spune că el este nedefinit când x < A, rezultă că x \geq A.
Mai departe, nu trebuie să uităm că f(x) este nedefinită când numitorul \sqrt{ x - A }, este zero.
Pentru ca \sqrt{ x - A } \neq 0, sau x - A \neq 0, trebuie să avem x \neq A.
În total avem trei restricții: x \leq A+B, x \geq A și x \neq A.
Dar aducându-le la un loc, ne rezultă că A < x \leq A+B.
Și aceasta putem să o scriem matematic astfel CHOICES["sqrt-frac"].
f(x) = \begin{cases} \dfrac{ x + A }{ ( x + A )( x - C ) } & \text{IF } x \neq B \\ A & \text{IF } x = B \end{cases}
CHOICES["two-denom-cond-weird"]
cf(x) este o funcție formată din două ramuri. De aceea trebuie să găsim locurile unde fiecare ramură este nedefinită.
Prima ramură a funcției f(x), \frac{ x + A }{ ( x + A )( x - C ) }, este nedefinită când numitorul este zero.
Numitorul, (x + A)(x - C), este zero când x = -1*A sau x = C.
Deci putem spune câ prima ramură a funcției f(x) este definită când x \neq -1*A și x \neq C.
Prima ramură a funcției se aplică atunci când x = -1*A și x = C, deci aceste restricții sunt relevante pentru domeniul funcției f(x).
A doua ramură a lui f(x), A, este pur și simplu o linie orizontală care nu are puncte în care nu este definită. Deci putem să o ignorăm. E doar o dreaptă plictisitoare.
Deci prima ramură este definită când x \neq -1*A și când x \neq C și se aplică pentru x \neq B;
a doua ramură a funcției este definită mereu și se aplică atunci când avem x = B.
La un loc, aceste restricții ne dau locurile unde funcția nu este definită, x = -1*A și x = C.
Putem spune că restricția pentru domeniul funcției f(x) este x \neq -1*A și x \neq C.
În final, domeniul funcției reiese că este CHOICES["two-denom-cond-weird"].
f(x) = \dfrac{ \sqrt{ x - C } }{ x^2 + A+B x + A*B }
CHOICES["sqrt-poly-frac"]
cf(x) = \dfrac{ \sqrt{ x - C } }{ x^2 + A+B x + A*B } = \dfrac{ \sqrt{ x - C } }{ ( x + A )( x + B ) }
f(x) este nedefinită atunci când radicalul nu este definit. Aceasta se întâmplă când expresia de sub radical este mai mică decât 0.
Pentru aceasta trebuie să avem x - C \geq 0, sau x \geq C.
În plus trebuie să ne gândim ca funcția este nedefinită când numitorul este zero.
Deci ne-ar ajuta ca x \neq -1*A și x \neq -1*B.
Dar aceste ultime două restricții nu sunt relevante din moment ce C > -1*A și C > -1*B reiese că x \geq C ne asigură ca x \neq -1*A și x \neq -1*B.
Dacă luăm împreună aceste restricții, nu ne rămâne decât x \geq C.
În cazul acesta, răspunsul nostru devine CHOICES["sqrt-poly-frac"].
f(x) = \sqrt{ A - \lvert x \rvert }
CHOICES["sqrt-abs"]
cf(x) este nedefinită atunci când radicalul este nedefinit. Aceasta se întâmplă când expresia de sub radical este mai mică decât zero..
Pentru aceasta trebuie să avem A - \lvert x \rvert \geq 0.
Sau \lvert x \rvert \leq A.
Care înseamnă că x \leq A și x \geq -1*A; sau, scris altfel, -1*A \leq x \leq A.
De aici rezultă că domeniul nostru este CHOICES["sqrt-abs"].
f(x) = \dfrac{ B }{ \sqrt{ A - \lvert x \rvert } }
CHOICES["inverse-sqrt-abs"]
cÎn primul rând se observă că f(x) este nedefinită unde expresia de sub radical este mai mică decât zero.
Pentru aceasta trebuie să avem A - \lvert x \rvert \geq 0.
Sau scris altfel \lvert x \rvert \leq A, care defapt se poate scrie și așa -1*A \leq x \leq A.
În al doilea rând, trebuie să luăm în calcul că f(x) este nedefinită și in punctele unde numitorul fracției este zero.
Pentru aceasta trebuie să respecte regula \sqrt{ A - \lvert x \rvert } \neq 0, sau \lvert x \rvert \neq A.
Rezultă că x \neq A și x \neq -1*A.
În final, avem patru restricții: x \geq -1*A, x \leq A, x \neq -1*A, și x \neq A.
La un loc, reiese că x > -1*A și x < A; sau scris altfel, -1*A < x < A.
De aici rezultă ca domeniul funcției este CHOICES["inverse-sqrt-abs"].