Sisteme de ecuatii

Ecuatiile unor functii de gradul I pot fi folosite si pentru a crea un sistem de ecuatii.

Sa spunem ca avem ecuatiile

{\begin{cases} \frac{3}{2} \cdot x - 6 + y = 0 \\ - 4 \cdot x + 5 + y = 0 \end{cases}

$\begin{cases} \class{text-blue}{\frac{3}{2} \cdot x - 6 + y = 0} \\ \class{text-green}{- 4 \cdot x + 5 + y =0} \end{cases}$

Putem sa ne imaginam ca fiecare ecuatie este o functie de gradul I. Aceasta inseamna ca fiecare ar trebuie sa aiba cate un grafic. Daca trecem $y$ $y$ intr-o parte, ne reiese ca cele doua functii sunt:

{\begin{cases} f (x) = 6 - \frac{3}{2} \cdot x \\ g (x) = 4 \cdot x - 5 \end{cases}

$\begin{cases} \class{text-blue}{f(x) = 6 - \frac{3}{2} \cdot x} \\ \class{text-green}{g(x) = 4 \cdot x - 5} \end{cases}$

care au urmatoarele grafice:

Este interesant faptul ca intersectia lor (punctul rosu) reprezinta si solutia sistemului.

Asadar folosind graficele functiilor putem vizualiza daca un sistem de ecuatii are solutii, si unde se afla aceasta.

Dar pentru a afla acele solutii (valorile pentru $x$ $x$ si $y$ $y$ ) trebuie sa recurgem la calcule. Adica trebuie sa rezolvam sistemul. Graficul este doar un lucru auxiliar.

Si avem mai multe metode, sau tehnici, de a rezolva un sistem de ecuatii:

Metoda substitutiei

Aceasta este probabil cea mai cunoscuta metoda. Atunci cand intr-una din ecuatii trecem $x$ $x$ (sau $y$ $y$ ) intr-o parte si apoi inlocuim acea necunoscuta in a doua ecuatie.

${\begin{cases} x + y = 4 \\ 4 \cdot x - 2 \cdot y = 8 \end{cases}$ ${(x + y = 4),(4*x - 2*y = 8) :}$

${\begin{cases} x = 4 - y \\ 4 \cdot x - 2 \cdot y = 8 \end{cases}$ ${(x = 4 - y),(4*x - 2*y = 8) :}$

$4 \cdot (4 - y) - 2 \cdot y = 8$ $4*(4 - y) - 2*y = 8$

si apoi aflam $y$ $y$ .
Inmultirea unei ecuatii cu un numar

Pentru ca sistemul este format din ecuatii, atunci putem face orice modificare vrem uneia din ele, cat timp o facem de ambele parti ale semnnului $=$ $=$ .

De exemplu, putem pentru una din ecuatii sa o ridicam la patrat, sau sa o inmultim cu $- 1$ $-1$ . Putem folosi orice operatie care ne va ajuta sa mutam termenii si sa aflam mai usor solutia.

De exemplu sa spunem ca avem sistemul:

${\begin{cases} - x - y = - \frac{3}{2} \\ 4 \cdot x + 2 \cdot y = 8 \end{cases}$ ${(- x - y = -3/2),(4*x + 2*y = 8) :}$

Si pentru ca nu vrem sa facem multe inmultiri, vom scrie prima ecuatie in functie de $y$ $y$ si apoi vom inlocui in a doua.

$- y = x - \frac{3}{2}$ $-y = x - 3/2$

Dar ne ramane un $y$ $y$ cu $-$ $-$ in fata. De aceea putem inmulti ecuatia prin $- 1$ $-1$ . In a doua ecuatia pentru a face calculul mai usor, putem inmulti cu $\frac{1}{2}$ $1/2$ . Iar dupa acestea ne va rezulta sistemul:

${\begin{cases} y = \frac{3}{2} - x \\ 2 \cdot x + 1 \cdot y = 4 \end{cases}$ ${(y = 3/2 - x),(2*x + 1*y = 4) :}$

Care are solutiile: $x = \frac{5}{2}, y = - 1$ $x = 5/2, y = -1$
Adunarea ecuatiilor intre ele

Aceasta proprietate de cele mai multe ori, se potriveste cu cea de dinainte. Daca avem un sistem de genul:

${\begin{cases} x + y = 4 \\ x + 3 \cdot y = 12 \end{cases}$ ${(x + y = 4),(x + 3*y = 12) :}$

putem inmulti prima ecuatie cu $- 1$ $-1$ si apoi sa le adunam intre ele:

${\begin{cases} - x - y = - 4 \\ x + 3 \cdot y = 12 \end{cases}$ ${(-x -y = -4),(x + 3*y = 12) :}$

Si ne va rezulta o singura ecuatie cu o singura necunoscuta, pentru ca $x$ $x$ -urile se vor anula:

$x + 3 \cdot y - x - y = 12 - 4$ $x + 3*y - x - y = 12 - 4$

$2 \cdot y = 8$ $2*y = 8$

Aceasta metoda este bine sa o folosim doar cand suntem siguri ca vom scapa de una din necunoscute.

Metoda substitutiei

Inmultirea unei ecuatii cu un numar

Adunarea ecuatiilor intre ele